题目

已知f1f2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2（a>b>0）的左右焦点,A是椭圆位于第一象限的一点,点B也在椭圆上,且满足向量OA+向量OB=向量O(O为坐标原点）,向量AF2*向量F1F2=0,椭圆离心率=根号2/2
1.求直线AB的方程
2.若ABF2的面积=4根号2,求椭圆的方程
3.在2的条件下,椭圆上是否存在M使MAB的面积=8根号3?若存在,求出M的坐标

提问时间：2021-04-06

答案

【仅供参考】
⒈ 由x²/a²+y²/b²=0（a>b>0）
e=1/√2
＝＝＞a²=2b²
∴x²/(2b²)+y²/b²=0
∵向量AF2*向量F1F2=0
∴A为(b,b/√2)
∵向量OA+向量OB=向量O
∴B为(-b,-b/√2)
∴直线AB：y=x/√2
⒉ ∵SΔABF2=|OF1|*(|AF1|+|BF2|)/2=4√2
∴b²=8
∴椭圆方程x²/16+y²/8=1
⒊ ∵|AB|=4√3
∴ M到AB距离d=2*(8√3)/(4√3)=4
设平行AB且过M的直线m：y=x/√2+n
联立 x²/16+y²/8=1
y=x/√2+n
得x²+√2nx+n²-8=0
∴Δ=2n²-4(n²-8)≥0＝＝＞-4≤n≤4
∵d=|n|/√(1/2+1)
∴|n|=2√6与|n|≤4矛盾
∴不存在点M满足题意