题目

一道三角函数题,急求（30分钟内解决）!
已知 a ,b ,c 为三角形ABC的三边,且 a^2 -a-2b-2c=0 ,a+2b-2c+3=0 .求这个三角形的最大内角.

提问时间：2021-04-06

答案

由于:
a^2-a-2b-2c=0,
a+2b-2c+3=0
联立可得
b=(a^2-2a-3)/4
=(a-3)(a+1)/4,
c=(a^2+3)/4
因为a>0,
明显可得:c>b
下面比较c与a的大小
因为b=(a-3)(a+1)/4>0,
解得a>3（aa
解得
a3,刚好符合
所以c>a
所以最大边为c
利用余弦定理求解:
a^2+b^2-2abcosC=c^2
将b、c用含a的表达式代入得
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
=[a^2+(a^2-2a-3)^2/16-(a^2+3)^2/16]/2ab
=[16a^2+(a^4+4a^2+9-4a^3-6a^2+12a)-(a^4+6a^2+9)]/32ab
=(-4a^3+8a^2+12a)/32ab
=-(a^2-2a-3)/8b--------------------（1）
因为b=(a^2-2a-3)/4,
所以
（1）式=-1/2
即cosC=-1/2
∠C=120°
所以此时最大角为∠C=120°