题目

已知：a，b∈R⁺，a+b=1，求证：ax²+by²≥（ax+by）²．

提问时间：2021-04-06

答案

证明：∵ax²+by²-（ax+by）²
=（a-a²）x²+（b-b²）y²-2abxy
=a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy…（*），
又∵a+b=1，ab∈R⁺
（*）=abx²+aby²-2abxy=ab（x-y）²≥0，
∴ax²+by²≥（ax+by）²．

可结合条件利用作差法ax²+by²-（ax+by）²进行证明即可．

本题考点：分析法和综合法．

考点点评：本题考查直接证明的方法，关键在于证题思路的突破--作差法，属于中档题．