题目

如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（　　）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

提问时间：2021-04-06

答案

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，
∵

BF=CN ∠FBD=∠DCN DB=DC

，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，
∵

DM=MD ∠FDM=∠MDN DF=DN

，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN=MF，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．
故选B．

要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

本题考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．