题目

已知3sinβ=sin（2α+β）,求证：tan（α+β）=2tanα.
已知sinα=4sin（α+β）.求证：tan（α+β）=sinβ/（cosβ-4）
sinα-cosα=1/2,sinβ-cosβ=-1/3,则sin（α+β）的值为：

提问时间：2021-04-06

答案

1、
3sinβ=sin(2α+β)
3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]
3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα
两边同时除以2cosαcos(α+β)得：
sin(α+β)/cos(α+β)=2sinα/cosα
tan(α+β)=2tanα
2、
sin[(α+β)-β]=4sin(α+β),即sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=4sin(α+β)
sin(α+β)(cosβ-4)=cos(α+β)sinβ,
所以sin(α+β)/cos(α+β)=tan(+β)=sinβ/(cosβ-4)
3、
将sinα-cosβ=1/2两边平方,得
sin²α-2sinαcosβ+cos²β=1/4 ①
将cosα-sinβ=1/3两边平方,得
cos²α-2cosαsinβ+sin²β=1/9 ②
①+②得
1-2(sinαcosβ+cosαsinβ)+1=1/4+1/9
2-2sin(α+β)=13/36
2sin(α+β)=59/36
sin(α+β)= 59/72.