题目

微分方程,高人入
已知sinx-f(x)=∫(x-t)f(t) dt（其中t从0积到x）,求f(x)
以下是我做的：令g'(t)=(x-t)f(t)
原式即为sinx-f(x)=g(x)-g(0)
两边求导cosx-f'(x)=g'(x)=(x-x)f(x)=0
所以f(x)=sinx+c
上面错在哪?是不是x与t的关系转换有问题?正解应该是什么?需要过程,我有答案,谢谢!
这题就是类似方法做出来的：
已知g(x)是f(x)反函数，∫g(x)（从0到f(x)）=e^x*x^2
令h'(x)=g(x)
原式即为h(f(x))-h(0)=e^x*x^2
两边求导h'(f(x))f'(x)=e^x*x^2+e^x*2x=g(f(x))f'(x)=xf'(x)
就这样求出了f'(x)，貌似方法和上面很像，应该不是完全没道理啊？

提问时间：2021-04-06

答案

g'(t)=(x-t)f(t)这么设是不行的,这么设就相当于让g等于所求积分的原函数,而原函数应该是一个只跟x有关的函数.所以应该是g'(x)=(x-t)f(t),理论上是应该这样,不过事实上这么做是解不出这道题的.因为还有t在里面.其实所求积分的原函数是一个广义函数,你的补充里面的那个题没有另外的变量做干扰,所以这么做是没有问题的.