题目

证明设b₁=a₁+a₂，b₂=a₂+a₃，b₃=a₃+a₁，且向量组a₁，a₂，a₃线性无关，证明向量组b₁，b₂，b₃线性无关．

提问时间：2021-04-05

答案

证明：由题意，（b₁，b₂，b₃）=（a₁，a₂，a₃）

1 0 1 1 1 0 0 1 1

而

.

1 0 1 1 1 0 0 1 1

.

＝2≠0
∴r

1 0 1 1 1 0 0 1 1

=3
∴r（b₁，b₂，b₃）=r（a₁，a₂，a₃）=3
∴向量组b₁，b₂，b₃线性无关．

将向量组（b₁，b₂，b₃）写成向量组（a₁，a₂，a₃）与矩阵相乘的形式，通过矩阵的秩来判断向量组（b₁，b₂，b₃）的秩，从而证明结论．

本题考点：向量组线性无关的判定与证明．

考点点评：此题考查用线性无关的性质和向量组的秩来判断向量组的相关性，对这些判定方法和定理要熟悉．