题目

将一副三角尺如图拼接：含30度角的三角尺（三角形abc）的长直角边与含45度角的三角尺（三角形ACD）的斜边
恰好重合.已知AB=2根号3,P是AC上的一个动点.当点P运动到角ABC的平分线上时,连接DP.求DP的长

提问时间：2021-04-05

答案

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2 3,P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时▱DPBQ的面积．
在Rt△ABC中,AB=2 3,∠BAC=30°,
∴BC= 3,AC=3．
（1）如图（1）,作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中,AD=CD,
∴DF=AF=CF= 32．
∵BP平分∠ABC,
∴∠PBC=30°,
∴CP=BC•tan30°=1,
∴PF= 12,
∴DP= PF2+DF2= 102．
（2）当P点位置如图（2）所示时,根据（1）中结论,DF= 32,∠ADF=45°,又PD=BC= 3,
∴cos∠PDF= DFPD= 32,
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
当P点位置如图（3）所示时,同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
（3）CP= 32．
在□DPBQ中,BC∥DP,
∵∠ACB=90°,
∴DP⊥AC．
根据（1）中结论可知,DP=CP= 32,
∴S□DPBQ=DP•CP= 94．