题目

.已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B、C,那么△ABC是( )

提问时间：2021-04-05

答案

当BC斜率不存在时,方程为x=5,可以求出B（5,2根号5）,C（5,-2根号5）
所以AB斜率是（-1+根号5）/2,AC斜率是-（1+根号5）/2
乘积是-1,所以AB与AC垂直,三角形ABC是直角三角形
当BC斜率存在时,显然不能为0,否则与抛物线只有一个公共点,所以设方程为x-5=a(y+2)(a是斜率的倒数）,代入抛物线方程化简得y^2-4ay-8a-20=0
设B（x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=4a,y1y2=-8a-20
x1+x2=(ay1+2a+5)+(ay2+2a+5)=a(y1+y2)+4a+10=4a^2+4a+10
x1x2=(ay1+2a+5)(ay2+2a+5)=4a^2+20a+25
K(AB)*K(AC)=(y1-2)(y2-2)/(x1-1)(x2-1)
(y1-2)(y2-2)=y1y2-2(y1+y2)+4=-16a-16
(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=16a+16
所以AB和AC斜率乘积等于-1,即AB垂直于AC.
综上可知,三角形ABC是直角三角形