题目

在极坐标系中,已知点A,B的极坐标分别为(1,0),(4,0),点P是平面内一动点,且PB=2PA
在极坐标系中,已知点A、B的极坐标分别为(1,0)、(4,0),点P是平面内一动点,且PB=2PA,动点P的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的极坐标方程

提问时间：2021-04-05

答案

可以用直角坐标系进行计算,然后再转换到极坐标系统上.
以极点作为原点,以极轴作为x轴,建立直角坐标系.
设P点坐标为（x,y）,极坐标（p,α）,A和B点坐标分别为（1,0）,（4,0）
因为
PB=2PA
所以（x-4）²+y²=2（x-1）²+2y²
（x-4）²-2（x-1）²-y²=0
x²-8x+16-2x²+4x-2-y²=0
-x²-4x+14-y²=0
将x=pcosα,y=psinα,
-p²cos²α-4pcosα-p²sin²α+14=0
则-p²（cos²α+sin²α）-4pcosα+14=0
-p²-4pcosα+14=0
上述即是所求的曲线C的极坐标方程.