题目
已知:如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点P,过点P作⊙O的切线PD交AC于D.
(1)求证:PD⊥AC;
(2)若∠BAC=120°,BC=4
,求⊙O的半径长.
(1)求证:PD⊥AC;
(2)若∠BAC=120°,BC=4
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提问时间:2021-04-05
答案
(1)证明:∵AB为⊙O的直径,
∴∠APB=90°,
∴AP⊥BC,
而AB=AC,
∴PB=PC,
而OB=OA,
∴OP为△ABC的中位线,
∴OP∥AC,
又∵DP是⊙O的切线,
∴OP⊥DP,
∴PD⊥AC;
(2)∵AP⊥BC,AB=AC,
∴AP平分∠BAC,
∴∠BAP=
∠BAC=60°,
而BC=4
,
∴PB=2
,
在Rt△ABP中,∠B=90°-60°=30°,
∴PB=
AP,
∴AP=2,
∴AB=2AP=4,
∴⊙O的半径长为2.
∴∠APB=90°,
∴AP⊥BC,
而AB=AC,
∴PB=PC,
而OB=OA,
∴OP为△ABC的中位线,
∴OP∥AC,
又∵DP是⊙O的切线,
∴OP⊥DP,
∴PD⊥AC;
(2)∵AP⊥BC,AB=AC,
∴AP平分∠BAC,
∴∠BAP=
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而BC=4
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∴PB=2
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在Rt△ABP中,∠B=90°-60°=30°,
∴PB=
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∴AP=2,
∴AB=2AP=4,
∴⊙O的半径长为2.
(1)根据直径所对的圆周角为直角得到AP⊥BC,而AB=AC,由等腰三角形的性质得PB=PC,则OP为△ABC的中位线,得OP∥AC;根据切线的性质有OP⊥DP,即可得到结论;
(2)根据等腰三角形的性质得到AP平分∠BAC,即∠BAP=
∠BAC=60°,在Rt△ABP中,∠B=90°-60°=30°,PB=
BC=2
,根据含30度的直角三角形三边的关系得到PB=
AP,则AP=2,AB=2AP=4,即可得到⊙O的半径长.
(2)根据等腰三角形的性质得到AP平分∠BAC,即∠BAP=
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切线的性质;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;圆周角定理.
本题考查了圆的切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了等腰三角形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及圆周角定理的推论.
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