题目

求由曲面x^2+y^2+z^2=4az和x^2+y^2+az=4a^2所围成的区域D的体积

提问时间：2021-04-04

答案

曲面x^2+y^2+z^2=4az可化为x^2+y^2+(z-2a)^2=4a^2,是个球面,球心在(0,0,2a)
x^2+y^2+az=4a^2可化为az=4a^2-( x^2+y^2),是个锥面,顶点在(0,0,4a),开口向下
两曲面交线是两个圆,当z=4a时,交线是x^2+y^2=0,是个点圆,在锥面顶点(0,0,4a);
当z=a时,交线圆是x^2+y^2=3a^2,
锥体体积=1/3*3a*π*3a^2=3πa^3,球缺体积=1/3*π*a^2*(3*√3*a-a)=πa^3*(√3-1/3)
所以,所围体积可分为两部分,
一是锥体外、球体内的部分,体积=球体积-球缺体积-锥体体积
=4/3*π*8a^3-πa^3*(√3-1/3) -3πa^3
=πa^3*(8-√3)
二是锥体内、球体内的部分,体积=锥体体积+球缺体积=3πa^3+πa^3*(√3-1/3)
= πa^3*(√3+8/3)