题目

一只船在水中航行时所受阻力与其速度成正比.现此船由静止开始沿直线航行，若保持牵引力恒定，经过时间t₁后，速度为v，加速度为a₁，最终以速度2v匀速运动；若保持牵引力的功率恒定，经过时间t₂后，速度为v，加速度为a₂，最终也以2v的速度匀速运动，则有（　　）
A. t₁=t₂
B. a₂=2a₁
C. t₁＜t₂
D. a₂=3a₁

提问时间：2021-04-04

答案

1、先讨论B和D选项的加速大小：
以恒定的牵引力启动经过时间t₁时满足方程：
F-kv=ma₁----①
以2v的速度作匀速运动时满足方程：
F-k2v=0----②
由①②两式可得
kv=ma₁----③
船以恒定的功率启动经过时间t₂时，设牵引力为F′，则
F′-kv=ma₂----④
设恒定功率为P，则
P=F′v----⑤
由于功率一定，两次最终也以2v的速度作匀速运动，匀速运动时满足方程：
P=F2v----⑥
由⑤⑥两式得：
F′=2F代入④得
2F-kv=ma₂----⑦
将②代入上式得
3kv=ma₂----⑧
由③⑧两式相比可得：
a₂=3a₁
故B错误D正确．
2、再讨论A和C选项的时间大小：
关于时间的比较用v-t图象加以分析比较方便．画出两船的v-t图象，图线的斜率等于其加速度，注意利用速度均为v时，a₂=3a₁；速度为2v时，均匀速运动，故得图线如图所示，图中甲表示以恒定牵引力启动，乙表示以恒定功率启动．
　　由图可知，开始阶段，乙的加速度是甲的3倍，乙的速度增加比甲快，乙的位移大于甲，速度达到v时，从图中很直观看出t₁＞t₂，故AC错误．
综上所述，本题的正确答案应是D．
故选：D．