题目

一元三次函数f(x)的三次项系数为a/3,f(x)+9x<0的解集为(1,2)

提问时间：2021-04-04

答案

三次函数性质的探索
云南省昆明市粤秀中学　段培吉
提要
本文通过对一次函数、二次函数知识的回顾,利用几何画板为工具,对三次函数的单调性、有没有极值的问题进行探索研究,经过大量的实验验证,对函数的单调性、有没有极值可以运用函数f(x)的导数函数的判别式进行判断．从而找到了三次函数的性质,为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据．为解决高考中三次函数单调性、极值以及借助极值证明不等式等问题找到了有效的解决方法．
主题词 探索 三次函数的性质
极值
我们已经学习了一次函数,知道图象是单调递增或单调递减,在整个定义域上不存在最大值与最小值,在某一区间取得最大值与最小值．那么,是什么决定函数的单调性呢?利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．并结合TI图形计算器任意输入几个不同的一次函数进行验证．
接着,我们同样学习了二次函数,图象大致如下：
　　 图1 图2
利用已学知识归纳得出：当时(如图1),在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增,对称轴上取得最小值；当时(图2),在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减,对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向,a、b同时决定对称轴,c决定函数与y轴相交的位置．应用用TI图形计算器任意输入几个不同的二次函数进行验证．
那么,三次函数的图象是什么形状呢?单调性呢?是否存在极值?它有哪些性质呢?各组学生开始对函数图象可能单调递增、有极值等问题展开激烈讨论．接着让各小组利用TI图形计算器任意输入几个不同函数进行验证．学生马上输入许多不同的三次函数进行探索,经过各组学生探索后,综合他们的探索归纳发现函数有六类．如图：
图3 　
　 　　 图4

图5
图6
图7
图8
分析：由图3函数有哪些特点呢?归纳：解析式是,整个定义域上函数单调递增,在图4中解析式是,整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值,函数必经过原点．单调性又与什么知识相关呢?导数,现在求出函数的导数是,验证与0的关系,当时,即的图象在是单调递增；当时,即的图象在是单调递减相一致．当,根据图象知道,在处不是函数f(x)的极值点．所以的根是函数取得极值的必要不充分条件．现在思考并验证函数与函数图象有什么关系?经过验证得出：函数与相同,当时函数图象是图象向上平移|d|个单位；当时函数图象是图象向下平移|d|个单位；函数的导数都是．
在图5中解析式是,整个定义域上函数单调递增．在图6中解析式是,整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值．函数的导数,经过验证在图5中因为即,所以的图象在是单调递增；在图6中因为即,所以的图象在是单调递减；函数都不存在极大值或极小值．为什么在图5中a>0、,在图6中a<0、呢?a>0、或a<0、是又有什么结果呢?因为导数是二次函数,当a>0、或a<0、时判别式,导数函数不小于0,方程有一个根．当a>0、或a<0、时,方程有两个根．那么函数图象有什么特点呢?猜想如果,那么有两根,函数f(x)应有增也有减,我们来验证一下图7、图8：
在图7中解析式是,在或上函数单调递增,在上函数单调递减；在处取得极大值,在处取得极小值；在图8中解析式是,在或上函数单调递减,在上函数单调递增；在处取得极小值,在处取得极大值,它们在上最大值和最小值．为什么呢?函数的导数是,设的两根是并且令．经过验证在图7中,因为,当或时,所以的图象在或是单调递增；在上,所以的图象在是单调递减．在图8中,因为,当或时,所以的图象在或是单调递减；在上,所以的图象在是单调递增．
经过上述探索知道,函数在整个定义域上是单调递增（递减）,左右都增中间递减,还是左右都减中间递增,是由a确定,b、c确定函数有没有极值、d确定函数与
y轴的交点．并且函数单调递增（递减）有没有极值与的导函数的判别式相关,具体归纳如下性质：
设的导数是则,函数的判别式为：由导数的图象可知：
时导数的图象
　　　　　　　　　　　　时导数图象
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
图9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图10
函数f(x)图象　　　　　　　　　
　　　　　
图11　　　　　　　　　　　　　　　　 图12
三次函数f (x)在R上是单调函数,（无极值）
　　时的两根为且导数图象
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　
图13
函数f (x)图象
　　　　　　　　　函数f (x)图象
　　
图14　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图15
1、时在或单调递增；在单调递减(如图14)在处取得极大值,在处取得极小值．
2、时在或单调递减；在单调递增,(如图15)在处取得极小值,在处取得极大值．
注意：三次函数f(x)有极值导函数的判别式>0
根据以上性质可以灵活解决三次函数问题：
例1、设,讨论关于x的方程的相异实根的个数?
分析：要讨论方程根的个数,直接求解非常困难,根据题意,需把方程转化为函数问题,即方程变成,设,这转化为讨论函数与交点的个数．
函数的导数的两根为(如图16)
函数的极大值是,函数的极小值是,
（1）当或时,函数与只有一个交点,即方程只有一个根．
（2）当或时,函数与只有两个交点,即方程只有两个根．
（3）当时,函数与有三个交点,方程有三个根．
图16
例2、已知函数是R上的奇函数,当时f(x)取得极值．
（1）求f(x)的单调区间和极大值；
（2）证明对任意,不等式恒成立．
（1）函数f(x)是奇函数,所以,函数f(x)的导数依题意得,解得
所以导数,(如图17)
　　时,函数f(x)单调递增；
时,函数f(x)单调递减；所以．
（2）如图17 对任意, 函数f(x)单调递减,所以
图17
一般地在导数有两根且时,在处；在处,对任意都有
因此,我们利用信息技术能够轻松研究三次（高次）函数的性质,同时验证了高次函数与导数知识的关系,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,充分利用好信息技术的直观显示,能更有效解决三次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决办法．