题目

请问数学的一次函数和反比例函数应该怎么学给我讲讲几个例题,教我一些学一次函数和反比例函数的好方法

提问时间：2021-04-04

答案

一、一次函数：

在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果可以写成y=kx+b(k为一次项系数k≠0,b为常数),那么我们就说y是x的一次函数,其中x是自变量,y是因变量.

1、函数的由来

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词.是中国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1852年到1859年间）一书时,把“function”译成“函数”的.
　　中国古代“函”字与“含”字通用,都有着“包含”的意思.李善兰给出的定义是：“凡式中含天,为天之函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x,则该式子叫做x的函数.”所以“函数”是指公式里含有变量的意思.现代所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式.但是方程一词在中国早期的数学专著《九章算术》中,意思指的是包含多个未知量的联立一次方程,即线性方程组.

2、基本定义

定义

一般地,形如y=kx+b(k≠0,k,b是常数),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,即正比例函数（自变量和因变量成正比例）.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

还有,若自变量最高次数为1,则这个函数就是一次函数.

在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果可以写成y=f（x）,（即x经过某种运算得到y）,即每一个x都有唯一一个y与之对应,那么我们就说y是x的函数,其中x是自变量,y随X的变化而变化.当x取一个值时,y有且只有一个值与x对应.如果有2个及以上个值与x对应时,就不是函数.表示法：函数常用的表示方法：解析法、图像法、列表法.

3、基本性质

        1．在正比例函数时,x与y的商一定(x≠0）.在反比例函数时,x与y的积一定.

在y=kx+b（k,b为常数,k≠0）中,当x增大m时,函数值y则增大km,反之,当x减少m时,函数值y则减少km.

        2．当x=0时,b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标,该点的坐标为(0,b).[2]

        3．当b=0时,一次函数变为正比例函数.当然正比例函数为特殊的一次函数.[2]

        4．在两个一次函数表达式中：

当两个一次函数表达式中的k相同,b也相同时,则这两个一次函数的图像重合；

当两个一次函数表达式中的k相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像平行；

当两个一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像相交；

当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时,则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0,b）；

当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时,则这两个一次函数图像互相垂直.[2]

       5．两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比,得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数,渐近线为x=－b/a,y=c/a.

4、特殊位置关系

 当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；

 当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）

注意：与y轴平行的直线没有函数解析式,与x轴平行的直线的解析式为常函数,故上述性质中这两种直线除外.

5、常见题型

常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容,也是高中解析几何的基石,更是中考的重点考查内容.其中求一次函数解析式就是一类常见题型.现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型.希望对大家的学习有所帮助.

一. 定义型 　例1. 已知函数 是一次函数,求其解析式. 　由一次函数定义知 　,故一次函数的解析式为 　注意：利用定义求一次函数 解析式时,要保证 .如本例中应保证

二. 点斜型 　例2. 已知一次函数 的图像过点（2,－1）,求这个函数的解析式. 　 一次函数 的图像过点（2,－1） 　,即 　故这个一次函数的解析式为 　变式问法：已知一次函数 ,当 时,y=－1,求这个函数的解析式.

三. 两点型 　已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2,0）、（0,4）,则这个函数的解析式为_____________. 　设一次函数解析式为 　由题意得 　故这个一次函数的解析式为

四. 图像型 　例4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________. 　设一次函数解析式为 　由图可知一次函数 的图像过点（1,0）、（0,2） 　有 　故这个一次函数的解析式为

五. 斜截型 　例5. 已知直线 与直线 平行,且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为___________. 　解析：两条直线 ： ； ： .当 , 时, 　直线 与直线 平行, . 　又 直线 在y轴上的截距为2, 　故直线的解析式为

六. 平移型 　例6. 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为___________. 　解析：设函数解析式为 , 直线 向下平移2个单位得到的直线 与直线 平行 　直线 在y轴上的截距为 ,故图像解析式为 　七. 实际应用型 　例7. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________. 　由题意得 ,即 　故所求函数的解析式为 （ ） 　注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围.

八. 面积型 　例8. 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为__________. 　易求得直线与x轴交点为（ ,0）,所以 ,所以 ,即 　故直线解析式为 或

九. 对称型 　若直线 与直线 关于 　（1）x轴对称,则直线l的解析式为 　（2）y轴对称,则直线l的解析式为 　（3）直线y=x对称,则直线l的解析式为 　（4）直线 对称,则直线l的解析式为 　（5）原点对称,则直线l的解析式为 　例9. 若直线l与直线 关于y轴对称,则直线l的解析式为____________. 　由（2）得直线l的解析式为

十. 开放型 　例10. 已知函数的图像过点A（1,4）,B（2,2）两点,请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式,并简要说明解答过程. 　（1）若经过A、B两点的函数图像是直线,由两点式易得 　（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4,所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线,解析式为 　

二、反比例函数1、形如函数（k为常数且k≠0）叫做反比例函数,其中k叫做反比例系数,x是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0.k大于0时,图像在1、3象限.k小于0时,图像在2、4象限.k表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积.

2、自变量的取值范围

① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数；

②函数 y 的取值范围也是任意非零实数.

3、解析式

其中x是自变量,y是x的函数,其定义域是不等于0的一切实数,

即 {x|x≠0,x∈R}.下面是一些常见的形式：

（k为常数(k≠0）,x不等于0）

4、概述

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）.

5、函数性质

单调性

当k>0时,图像分别位于第一、三象限,每一个象限内,从左往右,y随x的增大而减小；

当k<0时,图像分别位于第二、四象限,每一个象限内,从左往右,y随x的增大而增大.

k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数.

相交性

因为在

(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图像不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交,只能无限接近x轴,y轴.

面积

函数性质

单调性

当k>0时,图像分别位于第一、三象限,每一个象限内,从左往右,y随x的增大而减小；

当k<0时,图像分别位于第二、四象限,每一个象限内,从左往右,y随x的增大而增大.

k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数.

相交性

因为在

(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图像不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交,只能无限接近x轴,y轴.

6、概念理解

形如(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数.

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线.

由于反比例函数属于奇函数,有f(x)=f(-x),图像关于原点对称.

另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣.

注：反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交.

7、重点知识

过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.

对于双曲线,若在分母上加减任意一个实数(,m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位.（加一个数时向左平移,减一个数时向右平移）