题目

设函数f（x）=x的n次方+bx+c (n属于正整数集,b,c属于R)
设n为偶数,|f（-1）|小于等于1,|f（1）|小于等于1,求b+3cb+3c的最大值和最小值

提问时间：2021-04-04

答案

|f（-1）|=|1-b+c|≤1 -1≤1-b+c≤1 b-2≤c≤b （1）
|f（1）|=|1+b+c|≤1 -1≤1+b+c≤1 -b-2≤c≤-b （2）
若b >1 ,则 b-2>-1>-b 满足（1）（2）的b,c不存在
若b-1>b 满足（1）（2）的b,c也不存在
所以-1≤b≤1
分两种情况讨论
（1）-1≤b≤0 此时 b-2≤-b-2≤b≤-b 所以c的取值范围为 -b-2≤c≤b
b+3cb+3c=b+3c(b+1) 注意到b+1≥0,c≤b≤0 知b+3c(b+1)≤0 （等号成立时b=c=0）
且知g(b,c)=b+3c(b+1)随c增大则增大
所以b+3c(b+1)≥b+3(-b-2)(b+1)=-3b²-8b-6=-3(b+4/3)²-2/3≥-3（0+4/3）²-2/3=-6
等号成立时b=0,c=-2
(2)0≤b≤1 此时 -b-2≤b-2≤-b≤b 所以c的取值范围为 b-2≤c≤-b
b+3cb+3c=b+3c(b+1) 注意g(b,c)=b+3c(b+1)随c增大则增大
所以 g(b,c)=b+3c(b+1)≤b-3b(b+1)=-3b²-2b≤0 （等号成立时b=c=0）
且b+3c(b+1)≥b+3(b-2)(b+1)=3b²-2b-6=3(b-1/3)²-19/3≥-19/3
等号成立时b=1/3 ,c=-2/3
综合（1）（2）的结果知 -19/3≤b+3cb+3c≤0