题目

判别下列函数是否是周期函数?若是则求证出其周期．
1)sin(1-2x);
2)sin^2x;
3)3-|sin4x|;
4)xcos x;
5)2cos (x/2) - 3sin (x/3).

提问时间：2021-04-04

答案

1、2、3、5是周期函数,4不是
（1）,T=π
（2）用倍角公式换算一下得到T=π/2
（3）加上绝对值相当于周期缩小一倍,得T=π/4
（5）T=12π
证明：2cos(x/2)-3sin(x/3) 令x=x+T 2cos((x+T)/2)-3sin((x+T)/3) =2(cos(x/2)cos(T/2)-sin(x/2)sin(T/2))-3(sin(x/3)cos(T/3)+cos(x/3)sin(T/3)).(1)
T为周期,原式和(1)式应该相等.即:
cos(T/2)=1.(a)
sin(T/2)=0.(b)
cos(T/3)=1.(c)
sin(T/3)=0.(d)
由(a)(b):T/2=2kπ=> T=4kπ (k 为使得T为正数的整数,下同) 由(c)(d):T/3=2kπ=> T=6kπ
4kπ和6kπ的最小公倍数为12kπ,因此周期是12π
（4）观察零点
f(0)=f(π/2)=f(3π/2)=f(5π/2)=0,f(π)=-π.,零点的间隔不同
或者采用（5）的方法假设y=xcosx是周期函数,因为周期函数有f(x+T)=f(x)xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT
所以cosT=1 T=kπ/2-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0-xsinx*sinT-Tsinx*sinT=0(x+T)sinx*sinT=0只能是sinT=0 T=kπ和T=kπ/2矛盾所以不是周期函数