题目

函数f（x）（x∈R⁺）满足下列条件：①f（a）=1（a＞1）②f（x^m）=mf（x）．
（1）求证：f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若不等式f（x）+f（3-x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-04-04

答案

（1）证明：令x=a^m，y=aⁿ，则f（xy）=f（a^maⁿ）=f（a^m+n）=（m+n）f（a）=m+n，
同理，f（x）+f（y）=m+n，∴得证
（2）证明：任设x₁，x₂∈R⁺，x₁＞x₂，可令，x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＞0）
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₂t）-f（x₂）=f（x₂）+f（t）-f（x₂）=f（t）=f（a^α）=αf（a）=α＞0
即f（x₁）＞f（x₂）∴f（x）在正实数集上单调递增
（3）f（x）+f（3-x）≤2可化成，f（x）+f（3-x）≤2f（a）
即f（x）+f（3-x）≤f（a²），
即

f[(x)(3−x)]≤f(a2) 0＜x＜3

，即

x(3−x)≤a2 0＜x＜3

，而当0＜x＜3时，[x(3−x)]max＝

9

4

依题意，有a2≥

9

4

，又a＞1∴a≥

3

2

．

（1）分别取x=a^m，y=aⁿ，再结合已知条件中的等式，化简可以得出f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）设两个正数x₁，x₂，且x₁＞x₂，通过构造x₁=x₂t（t＞1），t=a^α（α＞0），再用函数单调性的定义可以证出
f（x₁）-f（x₂）=αf（a）=α＞0，可得函数在（0，+∞）上单调递增；
（3）先利用（1）的结论，将不等式的左边合并为f[（x）（3-x）]，右边的2=f（a²），再根据（2）利用函数单调增的性质，转化为不等式x（3-x）≤a²在区间（0，3）上恒成立，实数a的范围就不难得出了．

本题考点：指数函数综合题；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．

考点点评：此题考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义解函数值不等式，属于难题．解决抽象函数的问题一般应用赋值法，在解题过程中体现了转化的思想，在转化过程中还要注意函数的定义域．