题目

如图，已知：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M是AB的中点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．试判断△MEF的形状？并说明理由．

提问时间：2021-04-04

答案

△MEF是等腰直角三角形．
理由如下：连接MC，
∵∠C=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
又∵M是AB的中点，
∴CM=MB=

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AB，CM⊥AB，∠ACM=45°，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形CEDF是矩形，△BDE是等腰直角三角形，
∴CF=DE，DE=BE，
∴CF=BE，
在△CMF和△BME中，

CM＝MB ∠ACM＝∠B＝45° CF＝BE

，
∴△CMF≌△BME（SAS），
∴ME=MF，∠CMF=∠BME，
∴∠EMF=∠CMF+∠CME=∠BME+∠CME=∠CMB=90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．

连接MC，根据等腰直角三角形的性质可得∠B=45°，CM=MB=

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AB，CM⊥AB，∠ACM=45°，再判断出四边形CEDF是矩形，根据矩形的对边相等可得CF=DE，然后判断出△BDE是等腰直角三角形，再求出DE=BE，从而得到CF=BE，然后利用“边角边”证明△CMF和△BME全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，全等三角形对应角相等可得∠CMF=∠BME，再求出∠EMF=90°，从而判定为△MEF是等腰直角三角形．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．