题目

已知函数f（x）的周期为4，且等式f（2+x）=f（2-x），对一切x∈R成立，求证：f（x）为偶函数．

提问时间：2021-04-04

答案

∵函数f（x）的周期为4
∴f（4+x）=f（x）而f（2+x）=f（2-x），对一切x∈R成立
则将x+2代入上式x中得f（4+x）=f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数

先根据周期函数的定义得到f（4+x）=f（x），再根据“等式f（2+x）=f（2-x），对一切x∈R成立”得到f（4+x）=f（-x），从而很容易得到函数f（x）的奇偶性．

本题考点：函数的周期性；函数奇偶性的判断．

考点点评：本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的判断，属于基础题．