题目

在三角形abc中,abc成等比 且这三边不相等,logcA,logbC,logaB成等差,求等差数列的公差

提问时间：2021-04-04

答案

因为a、b、c成等比数列,故可设其公比为k,即b=ka,c=k^2*a
lna/lnc=lna/ln(k^2*a)=lna/(2lnk+lna)=1/(2lnk/lna+1)
lnc/lnb=ln(k^2*a)/ln(ka)=(2lnk+lna)/(lnk+lna)=(2lnk/lna+1)/(lnk/lna+1)
lnb/lna=ln(ka)/lna=(lnk+lna)/lna=lnk/lna+1
现在只剩1个未知数(即lnk/lna),可以根据等差列方程了：
设x=lnk/lna
2lnc/lnb=lna/lnc+lnb/lna
即2(2x+1)/(x+1)=1/(2x+1)+x+1
化简得2x^3-3x^2-3x=0
解得
x1=0(即k为1,舍去)
x2=(3+√33)/4
此时
lna/lnc=1/(2x+1)=(√33-5)/4
lnc/lnb=(2x+1)/(x+1)=(1+√33)/4
lnb/lna=x+1=(7+√33)/4
公差为1.5
x3=(3-√33)/4
此时
lna/lnc=1/(2x+1)= -(5+√33)/4
lnc/lnb=(2x+1)/(x+1)=(1-√33)/4
lnb/lna=x+1=(7-√33)/4
公差为1.5
至于验证（是否能组成三角形）什么的,我就不写了,反正答案肯定是1.5
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记法：在电脑（或计算器）中,一般对数是这样表达的：lnb/lna表示以a为底数,b的对数（其实就是换底公式,当然,写lgb/lga也可以）