题目

为什么ax+by+c+A(mx+ny+p) 表示过直线ax+by+c=0与mx+ny+p=0交点的所有直线?
我知道可以验证,请解释如何证明,感激不尽.
表示过直线ax+by+c=0与mx+ny+p=0交点且不包括mx+ny+p=0的所有直线
为什么不包括后一条直线？

提问时间：2021-04-04

答案

证明需要分两步,一是所有过交点的直线都可以如此表示,二是如此表示的一定是过交点的直线.
第一步的证明就是利用ax+by和mx+ny来把已知直线的斜率配出来,然后发现如果要使常数项也对应,两个已知直线的常数项必为c和p,即得.
第二步的证明很容易,就是说明这是直线,并且过交点（因为交点坐标代入后左端=0）即可.
圆系的方法类似,只是注意可能相减后是直线（半径为无穷的圆） .
不包括后一条直线的原因是前一条直线的系数恒不为0.
如果要包含后一条直线,应该写成A(ax+by+c)+B(mx+ny+p)=0,这样在A=0时就可以表示后一条直线.