题目

在平面上给出7个点,试证:一定能画出一个圆,使得圆内有4个点,圆外三个点
过程越详细越好!谢谢!
拜托，说通俗一点儿行不？看不懂！翼の天堂鸟！

提问时间：2021-04-04

答案

这道题本质是求证任意有限条直线不能充满整个平面
假设有n条直线,选定平面内一个定点A,过这个定点A有无穷多条直线
在这些直线中去除n条直线中过该定点的那些之后,还有无穷条直线过A
此时这无穷多条直线中的任意一条l,与那n条直线中不过A的有限条直线有有限多个交点（与每一条最多一个）,而直线l上的点是无穷的,从而至少存在1点属于l,不属于该n条直线
这样7个点有21条中垂线（每2点一条）,除去这21条中垂线之后,平面上还有点（就是说这21条直线不能充满整个平面）那么这些点中任意一个（不妨记作O）,O到这7个点的距离都是不相等的（因为O不在任意一条中垂线上）,记这7个距离（由小到大）为d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,它们各不相等,那么存在一个数大于d4,小于d5,记作R,以O为圆心,以R为半径,即满足题设要求
我是读理科的,没办法说通俗……
第一段你就忽略它吧,第二段21条中垂线你总明白吧?这21条不可能充满整个平面这个可以想像得到吧?那就是说至少存在1点（其实是有无穷多个,不过按照题目意思只要有一个就足够了）,不在这21条直线上,从而这个点O到这7个点的距离均不相等（譬如如果这7个点有一个是A,一个是B,并且|OA|=|OB|,那么O应该在AB的中垂线上,但O不在这21条中垂线上,故矛盾）,那么存在一个数,小于第五长的距离,大于第四长的距离,记为R,那么以O为圆心,以R为半径,即满足题设要求（有4个点到O的距离小于R,所以在圆内,有3个点到O的距离大于R,所以在圆外）
第一段是证明21条直线不能充满整个平面.