题目

RT
如图,在三角形ABC中,∠B=90° AB=6米 BC=8米,动点P以2M/s的速度从A点出发沿AC向点C移动,同时Q 从C出发以1M/S向B运动,当其中一点到达时 都停止运动,设时间为t (1)当t=2.5时,求S△CPQ;设三角形CPQ面积为S,求S与t的函数解析式
（2）当p.q移动的过程中,当CPQ为等腰△时,写出t的值
（3） 以P为圆心 PA为半径的园 与 以Q为圆心,Q为半径的园相切时 求T的值

提问时间：2021-04-03

答案

在Rt△ABC中,AB=6米,BC=8米,∴AC=10米
由题意得：AP=2t,则CQ=1,则PC=10-2t
（1）
①过点P,作PD⊥BC于D,
∵t=2.5秒时,AP=2×2.5=5米,QC=2.5米
∴PD= 12AB=3米,∴S= 12•QC•PD=3.75平方米；
②过点Q,作QE⊥PC于点E,
易知Rt△QEC∽Rt△ABC,∴ QEQC=ABAC•QE=3t5
∴S= 12•PC•QE= 12•（10-2t）• 3t5=- 35t2+3t（0＜t＜5）
（2）当t= 103秒（此时PC=QC）,259秒（此时PC=QC）,或 8021秒（此时PC=QC）时,△CPQ为等腰三角形；
（3）过点P作PF⊥BC于点F．
则△PCF∽□ACB
∴ PFAB= PCAC= FCBC,即 PF6= 10-2t10= FC8
∴PF=6- 6t5,FC=8- 8t5
则在直角△PFQ中,PQ2=PF2+FQ2=（6- 6t5）2+（8- 8t5-t）2= 415t2-56t+100
当⊙P与⊙Q外切时,有PQ=PA+QC=3t,此时PQ2= 415t2-56t+100=9t2
整理得：t2+70t-125=0
解得：t1=15 6-35,t2=-16 6-35＜0（舍去）
故,当⊙P与⊙Q外切时,t=（16 6-35）秒；
当⊙P与⊙Q内切时,PQ=PA-QC=t,此时,PQ2= 415t2-56t+100=t 2
整理得：9t2-70t+125=0,解得：t 1= 259,t 2=5
故当⊙P与⊙Q外切时,t= 259秒或5秒．