题目

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：
（1）MN∥平面PAD；
（2）MN∥PE．

提问时间：2021-04-03

答案

证明：（1）如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ．
∵N，Q分别是PC，DC的中点，
∴NQ∥PD．
∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴NQ∥平面PAD．
∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴MQ∥AD．
又∵MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴MQ∥平面PAD．
∵MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面PAD．
∵MN⊂平面MNQ，
∴MN∥平面PAD．      
（2）∵平面MNQ∥平面PAD，
且平面PEC∩平面MNQ=MN，
平面PEC∩平面PAD=PE
∴MN∥PE