题目

我们知道,函数3^x满足:3^0=1,3^x*3^y=3^(x+y)(x,y属于R).现以函数3^X为模型,则可以构造函数g(x)满足g(0)=1,g(x)*g(y)=g(x+y).同理,对于函数log3(x),满足log3(1)=0,
log3(xy)=log3(x)+log3(y)(x>0.y>0),以函数log3(x)为模型可以构造函数f(x).
(1)类比g(x)写出f(x)所满足的条件;
(2)对于函数f(x),求证:对于任意正实数x,y都有f(x/y)=f(x)-f(y)
(3)若当x>1时,f(x)>0且f(4)=2
①求证:f(x)在(0,正无穷大)上是增函数
②设F(x)={f(x²)+1/f(x²),-1

提问时间：2021-04-03

答案

(1)函数f(x)满足f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y).
(2)对于任意正实数x,y都有f(x)=f[(x/y)y]=f(x/y)+f(y),所以f(x/y)=f(x)-f(y).
(3)①因为当x>1时,f(x)>0
设x1>x2>0,则x1/x2>1,所以f(x1/x2)>0,由(2)知f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2),所以:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
②当-1