题目

关于无穷小的疑惑!
请问无穷个无穷小的乘积是0吗?如果不是,是什么?书上定义里没有!
但是那个什么负的无穷大肯定是错的!我补充下,上面所说的无穷小都是无穷小量!
seven_xun那位，我讲的不是有限无穷小的乘积，请你看清楚！

提问时间：2021-04-03

答案

无穷个无穷小的乘积不是0 也不是无穷小.
对于某个N阶无穷小,M个其相乘就是N*M阶无穷小,当M逐
渐趋向无穷大的时候,N*M为无穷大,显然是无穷阶次无穷小.
详细的证明用数学归纳法证明.
这个问题应该先弄清楚什么是无穷小.在数学分析上说Un是无穷小是指当n趋于无穷时Un趋
于零.无穷多个无穷小可以认为是有无穷多个趋于零的数列,例如Un,m对于固定的m是无穷
小.下面要研究的问题是对于固定的n将所有的Un,m相加（或者相乘）得到的新的数列Vn（
或者Wn）是否还满足当n趋于无穷时趋于零.这样的反例有很多,比如对于相加的情况可以
考虑这样的数列
1,1/2,1/3,1/4,...
0,1,1/2,1/3,...
0,0,1,1/2,...
.
对于相乘的情况可以考虑这样的数列
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,...
1,2,1/2,1/3,1/4,1/5,...
1,1,3!,1/2,1/3,1/4,...
1,1,1,4!,1/2,1/3,...
这个相乘的例子很直观
关键在于无穷多个,这时数列收敛的速度不同造成乘积不能收敛