题目

若已知展开式sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+···对x∈R,x≠0成立,则由于sinx/x=0有无穷多个根：±π,±2π,···,±nπ,····,于是1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+···=（1-x^2/π^2)(1-x^2/2^2·π^2)···(1-x^2/n^2·π^2)···,利用上述结论可得1+1/2^2+1/3^2+···+1/n^2+···=

提问时间：2021-04-03

答案

把（1-x^2/π^2)(1-x^2/2^2·π^2)···(1-x^2/n^2·π^2)···,展开可以得到1+a1*x^2+a2*x^4+a3*x^6.,由于两边的等式关系式可以得到对应项的系数相等即 a1=-1/3!;由于展后后 :a1=-1/π^2-1/(2^2·π^2)-1/(3^2·π^2)-..-/n^2·π^2
两边乘以-1*π^2得到；
-a1*π^2=1/1+1/(2^2)+1/(3^2)+..+/n^2；
把系数a1=-1/3!带入的到；
1/1+1/(2^2)+1/(3^2)+..+/n^2=π^2/3!=π^2/6;