题目

已知直线y=2x+4与x轴y轴分别交于AD两点抛物线y=-1/2x^2+bx+c经过点A,D,点B是抛物线与x轴的另一个交点：
（1）设点M是直线A,D上一点,且三角形AOM：三角形OMD=1:3,求点M的坐标
（2）如果点C（2,y）在这条抛物线,在y轴的正半轴上是否存在着点P,使三角形BCP为等腰三角形,请求出P点的坐标,若不存在,请说明理由

提问时间：2021-04-02

答案

（1）因为点M是直线A,D上一点,且三角形AOM：三角形OMD=1:3,两个三角形等高,所以DM:AM=3:1,做条M到y轴的辅助线交y轴于点F,则DF:OF=DM:AM=3:1,又因为D为（0,4）,所以OF＝1,同理M交x轴于E,OE＝3/2.点M为（-3/2,1）
（2）因为
直线y=2x+4与x轴y轴分别交于AD两点抛物线y=-1/2x^2+bx+c经过点A,D
而A为（－2,0）,D为（0,4）,带入抛物线得,c=4,b=1;
则对称轴x=-b/(2a)=1;B点坐标为（4,0）,C点坐标为（2,4）,
若BC为底边,则中垂线经过中点（3,2）,且斜率为-1/（Kab）=1/2,即y=1/2x+1/2,交y轴于点P（0,1/2）
若以BC为边,则BC^2=PC^2或CP^2=BP^2,得到P为（0,1）或（0,2）或（0,6）