题目

已知正三角形内一点到三个顶点的距离,如何求正三角形的面积?
没有特殊的数据,求通用的计算方法.注意是正三角形.

提问时间：2021-04-02

答案

记到三顶点的距离分别为a,b,c,两两之间的夹角为u,v,w
正三角形的边为记为r,r^2=x
则由余弦定理有：
cosu=(a^2+b^2-r^2)/(2ab)=A1-B1x
cosv=(b^2+c^2-r^2)/(2bc)=A2-B2x
cosw=(c^2+a^2-r^2)/(2ac)=A3-B3x
w=2π-(u+v)
因此有：cosw=cos(u+v)=cosucosv-sinusinv
即(sinusinv)^2=(cosucosv-cosw)^2
(1-cos^2 u)(1-cos^2 v)=(cosucosv-cosw)^2
1-cos^2 u-cos^2 v=cos^2 w-2cosucosvcosw
即：cos^2 u+cos^2v+cos^2w-2cosucosvcosw=1
代入得：(A1-B1x)^2+(A2-B2x)^2+(A3-B3x)^2-2(A1-B1x)(A2-B2x)(A3-B3x)=1
这是关于x的三次方程,可用求根公式解得x.
这样三角形面积S=√3x/4