题目

一道函数不等式题
求出所有这样的函数f:R-R,使得对于一切x,y,z∈R,有f(x+y)+f（y+z）+f(x+z)=3f(x+2y+3z)
f(x+y)+f（y+z）+f(x+z)=3f(x+2y+3z)改为f(x+y)+f（y+z）+f(x+z)≥3f(x+2y+3z)

提问时间：2021-04-02

答案

楼上的错了
令x=y=z=0,f(0)+f(0)+f(0)=3f(0)
对任意k,令x=y=0,z=k,f(0)+2f(k)=3f(3k);令x=z=0,y=k,f(0)+2f(k)=3f(2k);令y=z=0,x=k,f(0)=2f(k)=3f(k);
所以f(k)=f(2k)=f(3k)
所以f(0)+2f(k)=3f(k)
所以f(0)=f(k)
所以f(x)是一个常函数
若是≥,令y=z=0,f(0)≥f(k),
令x=y=k/2,z=-k/2,2f(0)+f(k)≥3f(0),所以f(k)≥f(0)
又因为f(0)≥f(k)
所以f(0)=f(k)
所以结果一样,f(x)依旧是常函数