题目

均值定理证明不等式
已知x ,y都是实数
并且y = x^2
求证2^x + 2^y > 2的7/8次方

提问时间：2021-04-02

答案

2^x和2^y都大于等于零.因此：
2^x + 2^y >= 2根号( 2^x * 2^y ) 【等号成立条件：x=y=0或1】
= 2根号( 2^(x+y) ) = 2根号( 2^(x^2+x ) )
2的指数是x^2 + x,配方：
x^2 + x = x^2 + x + 1/4 - 1/4 = (x+1/2)^2 - 1/4
因为(x+1/2)^2 >= 0,因此(x+1/2)^2 - 1/4 >= -1/4,即x^2 + x >= -1/4
【等号成立条件：x = -1/2】
注意到2的多少次方这个函数是增函数.所以指数大的最后也大.那么最前面的推导可以继续往下写：
2根号( 2^(x^2+x ) ) >= 2根号( 2^(-1/4) ) = 2 * 2 ^ (-1/8) = 2^(7/8)
要使推导过程中的两个等号同时成立是不可能的.因此2^x + 2^y > 2的7/8次方.
这个题的关键在找出x^2+x究竟大于那个值.可以用上面的方法来解决.