题目
求证:a^(n+2)+(a+1)^(2n+1)可被(a^2+a+1)整除
提问时间:2021-04-02
答案
记f(n)=a^(n+2)+(a+1)^(2n+1)
1)f(1)=a^3+(a+1)^3=(2a+1)(a^2-a^2-a+a^2+2a+1)=(2a+1)(a^2+2a+1)能被a^2+2a+1整除
2)假设n=k时成立,n=k+1时
f(k+1)-f(k)=a^(k+3)+(a+1)^(2k+3)-a^(k+2)-(a+1)^(2k+1)
=(a-1)a^(k+2)+(k^2+2a)(a+1)^(2k+1)
=(a-1)a^(k+2)+(a^2+a+1)*(a+1)^(2k+1)+(a-1)(a+1)^(2k+1)
=(a^2+a+1)*(a+1)^(2k+1)+(a-1)[a^(k+2)+(a+1)^(2k+1)]
=(a^2+a+1)*(a+1)^(2k+1)+(a-1)f(k)
所以f(k+1)-f(k)能被a^2+a+1整除,故f(k+1)也能被a^2+a+1整除
证毕!
1)f(1)=a^3+(a+1)^3=(2a+1)(a^2-a^2-a+a^2+2a+1)=(2a+1)(a^2+2a+1)能被a^2+2a+1整除
2)假设n=k时成立,n=k+1时
f(k+1)-f(k)=a^(k+3)+(a+1)^(2k+3)-a^(k+2)-(a+1)^(2k+1)
=(a-1)a^(k+2)+(k^2+2a)(a+1)^(2k+1)
=(a-1)a^(k+2)+(a^2+a+1)*(a+1)^(2k+1)+(a-1)(a+1)^(2k+1)
=(a^2+a+1)*(a+1)^(2k+1)+(a-1)[a^(k+2)+(a+1)^(2k+1)]
=(a^2+a+1)*(a+1)^(2k+1)+(a-1)f(k)
所以f(k+1)-f(k)能被a^2+a+1整除,故f(k+1)也能被a^2+a+1整除
证毕!
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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