题目

数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn（c是不为零的常数,n=1,2,3,…）,且a1,a2,a3成等比数列．
证明{（an-c)/n}是等差数列!

提问时间：2021-04-02

答案

证：
a1=2
a2=a1+c×1=1+c
a3=a2+c×2=1+c+2c=1+3c
a1,a2,a3成等比数列,则
a2²=a1×a3
(1+c)²=1×(1+3c)
整理,得
c²-c=0
c(c-1)=0
c≠0 c-1=0 c=1
a(n+1)=an+cn=an+n
a(n+1)-an=n
an-a(n-1)=n-1
a(n-1)-a(n-2)=n-2
…………
a2-a1=1
累加
an-a1=1+2+.+(n-1)=n(n-1)/2
an=a1+n(n-1)/2=1 +n(n-1)/2
n=1时,a1=1+0=1,同样满足.
(an -1)/n=[1+n(n-1)/2 -1]/n=(n-1)/2
[a(n+1) -1]/(n+1)=[(n+1)-1]/2
[a(n+1)-1]/(n+1)-(an -1)/n=[(n+1)-1]/2 -(n-1)/2=1/2,为定值.
(a1-1)/2=(1-1)/2=0
数列{(an -c)/n}是以0为首项,1/2为公差的等差数列.