题目

如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

提问时间：2021-04-02

答案

（1）M（12，0），P（6，6）．（2分）
（2）设抛物线解析式为：
y=a（x-6）²+6 （3分）
∵抛物线y=a（x-6）²+6经过点（0，0）
∴0=a（0-6）²+6，即a=-

1

6

（4分）
∴抛物线解析式为：y=-

1

6

（x-6）²+6，即y=-

1

6

x²+2x．（5分）
（3）设A（m，0），则B（12-m，0），C（12-m，-

1

6

m²+2m）
D（m，-

1

6

m²+2m）．（6分）
∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（-

1

6

m²+2m）+（12-2m）+（-

1

6

m²+2m）
=-

1

3

m²+2m+12
=-

1

3

（m-3）²+15．（8分）
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．（9分）

（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；
（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．

本题考点：二次函数的应用．

考点点评：本题难度在第（3）问，要分别求出三部分的表达式再求其和．关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．