题目

如图抛物线y=ax2+2ax-8a(a>0)与x轴交于A.B两点(A在B左)与y轴交于点C,对称轴交于M点点N为l上一点,△NBC是以BC为斜边的等腰直角三角形
（1）求A.B两点坐标
（2）判断∠MNB与∠ACB的关系 并说明理由
（3）求这个抛物线解析式
（4）在该抛物线上是否存在点P,使△PAC的面积与△MAC的面积相等,如果存在求点P的坐标,不存在说明理由

提问时间：2021-04-02

答案

(1)令y=0,即ax2+2ax-8a=0 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥1分
∵a＞0 ∴x2+2x-8=0 解得x1=-4 x2=-2 ‥‥‥‥‥2分
∴A(-4,0) B(2,0) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥4分
(2) ∠MNB=∠ACB ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分
理由:由题知点N是△ABC的外心,∠ANB=2∠ACB,
而∠MNB=∠ANB ∴∠MNB=∠ACB ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥7分
(3)过点C作CG⊥于点G,
∵△NBC是以BC为斜边的等腰直角三角形
∴NB=NC ∠MNB+∠CNG=90° ∵∠NCG+∠CNG=90°∴∠MNB=∠NCG
又∠BMN=∠NGC=90° ∴△BMN≌△NGC
∴MN=GC=1 NG=BM=3 ∴OC=4 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥8分
∴-8a=-4 ∴a= ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥9分
∴y=x2+x-4 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
(4) 存在 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥11分
∵△PAC的面积与△MAC的面积相等
∴点P必在与直线AC平行且过点M(-1,0)的直线上
或过点D（-7,0）的直线上
①当点P在上时,由题:y=-x-1
∴解方程组 得
∴P1（-2+,1-） P2（-2-,1+）‥‥‥‥‥‥‥13分
②当点P在上时,由题:y=-x-7
∴得到方程组 ∵x2+x-4=-x-7 方程没有实数根
∴此时点P不存在 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分
综合①②知存在点P,分别是：P1（-2+,1-） P2（-2-,1+）
（说明：第（2）问利用构建全等证明角相等也可以）