题目
已知函数f(x)=lnx+x2+ax.
(Ⅰ)当a=-4时,求方程f(x)+x2=0在(1,+∞)上的根的个数;
(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)当a=-4时,求方程f(x)+x2=0在(1,+∞)上的根的个数;
(Ⅱ)若f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.
提问时间:2021-04-02
答案
(I)当a=-4时,令g(x)=f(x)+x2=lnx+2x2-4x,
只要求出g(x)在区间(1,+∞)上的零点的个数即可,
由g′(x)=
+4x-4=
在(1,+∞)上恒大于0可知,
g(x)在区间(1,+∞)上是单调递增的函数,
又由g(1)=-2<0,g(2)=ln2>0,
故g(x)在区间(1,+∞)上恰有1个零点;
(II)由题意可得f′(x)=
+2x+a=
在(0,+∞)上恰有两个互不相等的零点即可,
只需对分子上的二次函数有
,解得a<−2
只要求出g(x)在区间(1,+∞)上的零点的个数即可,
由g′(x)=
1 |
x |
(2x−1)2 |
x |
g(x)在区间(1,+∞)上是单调递增的函数,
又由g(1)=-2<0,g(2)=ln2>0,
故g(x)在区间(1,+∞)上恰有1个零点;
(II)由题意可得f′(x)=
1 |
x |
2x2+ax+1 |
x |
在(0,+∞)上恰有两个互不相等的零点即可,
只需对分子上的二次函数有
|
2 |
(I)把a=-4代入,令g(x)=f(x)+x2=lnx+2x2-4x,只要求出g(x)在区间(1,+∞)上的零点的个数即可,求导数可知g(x)在区间(1,+∞)上是单调递增的函数,结合零点的存在性定理可得结论;
(II)由题意只需g′(x)在(0,+∞)上恰有两个互不相等的零点即可,进而可得
,解之即可.
(II)由题意只需g′(x)在(0,+∞)上恰有两个互不相等的零点即可,进而可得
|
利用导数研究函数的极值.
本题考查用导数工具研究函数的极值,涉及二次函数的性质,属中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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