题目

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=m（m为常数且m≠0），移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D

（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．

提问时间：2021-04-02

答案

（1）证明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，
则∠PHC=∠PND=90°，
则∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN，∠POB=45°，
∵在△PCH与△PDN中，

∠PHC=∠PND PH=PN ∠HPC=∠NPD

，
∴△PCH≌△PDN（ASA）
∴PC=PD；
（2） ∵PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠POB=∠PDC，
∵∠DPE=∠OPD，
∴△PDE∽△POD，
∴PE：PD=PD：PO，
又∵PD²=

1

2

CD²，
∴PE=

1

2m

x²，即y与x之间的函数关系式为y=

1

2m

x²；

（3）①如图1，点C在AO上时，∵∠PDF>∠CDO，
令△PDF∽△OCD，
∴∠DFP=∠CDO，
∴CF=CD，
∵CO⊥DF
∴OF=OD
∴OD=

1

2

DF=OP=m；
②如图2，点C在AO的延长线上时，
△PDF与△OCD相似，若∠2=∠PFD，则PC∥CD，与PC、DC相交于点C矛盾，
所以，只能是∠1=∠2，
由（1）可知PC=PD，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠1=22.5°，
过点P作PG⊥OM交OD于G，
∵∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，
∴△POG是等腰直角三角形，
∴OG=

2

OP=

2

m，
PG=OP=m，
∵∠1+∠3=∠PGO=45°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=∠3，
∴PG=DG=m，
∴OD=OG+DG=

2

m+m=（

2

+1）m，
综上所述，OD的长为：m或（

2

+1）m．

（1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，根据角平分线的性质可得PM=PG，根据ASA可证△PCM≌△PDN，根据全等三角形的性质可得PC=PD；
（2）根据AA可证△PDE∽△POD，根据相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质即可得到y与x之间的函数关系式；
（3）分①点C在AO上，根据相似三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求得OD的长；②点C在AO的延长线上，△PDF与△OCD相似只能是∠1=∠2，根据等腰直角三角形的性质可得∠BDC=45°，然后求出∠1=22.5°，过点P作PG⊥OM交OD于G，根据等腰直角三角形的性质求出OG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3=22.5°，从而得到∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得PG=DG=m，然后根据OD=OG+DG计算即可得解．

本题考点：相似形综合题．

考点点评：本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，根据三角形相似或全等得出线段之间以及角之间的关系是解题的关键，（3）要分情况讨论，容易漏解而导致出错．