题目

已知n为正整数,且n2-71 能被7n+55整除,试求n的值.
n2-7kn-(71+55k)=0
∵ n为正整数,
∴ △=49k2+220k+284是完全平方数
而(7k+15)2＜49k2+220k+284＜(7k+17)2
因此 49k2+220k+284=(7k+16)2
k=7
于是 n2-49n-456=0
即 (n+8)(n-57)=0
从而得 n=57
为什么(7k+15)2＜49k2+220k+284＜(7k+17)2
因此 49k2+220k+284=(7k+16)2

提问时间：2021-04-02

答案

实际上解答者在(7k+15)2＜49k2+220k+284＜(7k+17)2 这一步使用了放缩,即将49k2+220k+284经过适当的处理,使它可以用不等式和整数的连续性求出来,至于具体的这个放缩是如何想出来的,这就要看你的数学功底有多厚了.放缩法是常用的方法中一种较难的方法,它的困难之处就在于你不好掌握放缩的大小.例如这个题,如果不小心放缩为(7k+15)2＜49k2+220k+284＜(7k+18)2 或(7k+14)2＜49k2+220k+284＜(7k+17)2 等等,这样虽然在道理上都成立,但是结果就不容易出来了.要想掌握放缩法,只能通过做题掌握,这是一种只可意会,难于言传的东西,慢慢体会吧……