题目

已知点A,B分别是射线l1：y=x（x≥0）,l2：y=-x（x≥0）上的动点,O为坐标原点,且△OAB的面积为定值2.
（Ⅰ）求线段AB中点M的轨迹C的方程
（Ⅱ）过点N（0,2）作直线l,与曲线C交于不同的两点P,Q,与射线l1,l2分别交于点R,S,若点P,Q恰为线段RS的两个三等分点,求此时直线l的方程.

提问时间：2021-04-02

答案

L1：y=x（x≥0）,L2：y=-x（x≥0）
k(L1)=1,k(L2)=-1
k(L1)*k(L2)=-1
L1⊥L2
OA⊥OB
xA=yA,OA=(√2)*xA=(√2)*yA
xB=-yB,OB=(√2)*xB=-(√2)*yB
S△AOB=OA*OB/2
(√2)*xA*(√2)*xB/2=2
xA*xB=2,yA*yB=-2
xB=2/xA,yB=-2/yA
M(x,y)
2x=xA+xB=xA+2/xA.(1)
2y=yA+yB=yA-2/yA=xA-2/xA.(2)
(1)+(2):
2x+2y=2xA
xA=x+y
(1)-(2):
2x-2y=4/xA=4/(x+y)
线段AB中点M的轨迹C的方程:
x^2-y^2=2
L:y=kx+2,L1:y=x,解方程组:
y=kx+2
y=x
得R[2/(1-k),2/(1-k)]
同理,得S[-2/(1+k),2/(1+k)]
解方程组:
L:y=kx+2
C:x^2-y^2=2
x^2-(kx+2)^2=2
(1-k^2)*x^2-4kx-6=0
求出xP,yP,xQ,yQ
再根据点P,Q恰为线段RS的两个三等分点,即可求出直线的斜率k,请自己计算.