题目

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=（a+1）n²+a，某三角形三边之比为a₂：a₃：a₄，则该三角形最大角为______．

提问时间：2021-04-02

答案

令n=1，得到a₁=S₁=2a+1，令n=2，得到a₁+a₂=S₂=5a+4，
所以a₂=3a+3，故公差d=（3a+3）-（2a+1）=a+2，
所以S_n=n（2a+1）+

n(n−1)

2

（a+2）=

a+2

2

n²+（2a+1-

a+2

2

）n=（a+1）n²+a，
得到a=0，所以等差数列的首项a₁=1，公差d=2，
所以三角形三边之比为3：5：7，设最大的角为α，三边分别为3k，5k，7k，
所以cosα=

9k2+25k2−49k2

30k2

=-

1

2

，又α∈（0，180°），
则该三角形最大角α为120°．
故答案为：120°