题目

设f(x)=e^ax(a>0).过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,则
三角形PQR的面积的最小值是( )
A.1 B.√(2e)/2 C.e/2 D.e^2/4

提问时间：2021-04-02

答案

B
f(x) = e^(ax)
Q(a,e^(a²))
f'(x) = ae^(ax)
f'(a) = ae^(a²)
过点Q的切线:y - e^(a²) = ae^(a²)(x - a)
y = 0,x = a - 1/a,R(a - 1/a,0)
三角形PQR的面积S = (1/2)RP*PQ
= (1/2)(a - a + 1/a)*e^(a²)
= [e^(a²)]/(2a)
对a求导:S' = 2[e^(a²)](2a² - 1)/a² = 0
a² = 1/2
a = 1/√2
S = √(2e)/2