题目

椭圆x²/a²＋y²/b²＝1（a＞b＞O）在左焦点F,A（-a,O）、B（0,b）是两个顶点,如果F到直线AB的距离等于b/√7,那么椭圆的离心率等于（ ）
答案是½.

提问时间：2021-04-01

答案

直线AB的方程:(y-0)/(x+a)=(b-0)/(0+a),即 ba-ay+ab=0
设半焦距为c,则F(-c,0),根据点到直线距离公式有：
|b*(-c)-a*0+ab|/√(b²+a²)=b/√7
即 b(a-c)/√(b²+a²)=b/√7
即 a-c=√[(b²+a²)/7]
又b²=a²-c²,代入得
a-c=√[(2a²-c²)/7]
两边平方并整理得：5a²-14ac+8c²=0
分解因式得：(5a-4c)(a-2c)=0
由(5a-4c)=0得离心率e=c/a=5/4＞1,但椭圆离心率＜1,不合题意,舍去；
由(a-2c)=0得离心率e=c/a=1/2.
所以该椭圆离心率e=1/2.