题目

已知椭圆x²/2+y²=1的两焦点为F1,F2,点P（x0,y0）满足0＜x0²/2+y0²＜1,则PF1+PF2的取值范围是 ,直线x0x/2 +y0y=1与椭圆的交点个数是 .

提问时间：2021-04-01

答案

由题意,P点在椭圆内部
椭圆上的点有PF1+PF2=2a
所以PF1+PF2<2a=2√2
再根据两边之和大于第三边
PF1+PF2≥F1F2=2c=2
取值范围是[2,2√2)
x0x/2 +y0y=1与椭圆的交点个数是0
可以将这个直线方程带入椭圆方程有
然后得到Δ<0恒成立的
化简很繁琐,不过这一类题有规律的
这里给的P点在椭圆内部,
x0x/2 +y0y=1直线表示过以P为中点弦的两端所引两切线交点,且平行于该弦的直线方程.
程
显然两端引的切线肯定交与椭圆外一点,这条直线和椭圆是没交点的.
引申一下 如果P点在椭圆上那么直线就表示椭圆在该点的切线
如果P在椭圆外部,那么直线表示由P向椭圆引的两条切线,切点弦所在的直线方程