题目
对于:x-y能整除(x^n)-(y^n) x+y能整除(x^n)+(y^n),n为奇数,如何证明?有什么推广吗?
提问时间:2021-04-01
答案
(1)证明x-y能整除x^n-y^n; 当n=1时,x-y能整除x-y,命题成立; 假设当n=k(k≥1)时命题成立,即x^k-y^k=(x-y)t,则当n=k+1时,x^(k+1)-y^(k+1)=x^(k+1)-x^ky+x^ky-y^(k+1)=x^k(x-y)+y(x^k-y^k)=x^k(x-y)+y(x-y)t=(x-y)(x^k+yt),所以x-y能整除x^(k+1)-y^(k+1),所以对于所有自然数n原命题均成立.(2)证明当n为奇数时,x+y整除x^n+y^n; 令n=2m-1,m为自然数.当m=1时,命题成立; 设当m=k(k≥1)时命题成立,即x^(2k-1)+y^(2k-1)=(x+y)t;当m=k+1时,x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^(2k+1)-x^(2k-1)y^2+x^(2k-1)y^2+y^(2k+1)= x^(2k-1)(x^2-y^2)+y^2[x^(2k-1)+y^(2k-1)] =x^(2k-1)(x-y)(x+y)+y^2(x+y)t= (x+y)[x^(2k-1)(x-y)+y^2t],所以x+y能整除x^(2k+1)+y^(2k+1),所以对一切自然数m,x+y均能整除x^(2m-1)+y^(2m-1),即当n为奇数时x+y能整数x^n+y^n.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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