题目

已知抛物线C的方程为x^2=2py(p>0),焦点F为(0,1),点P(x1,y1)是抛物线上的任意一点,过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A(s,t).
(1).求抛物线C的标准方程;
(2).若x1∈[1,4],求s的取值范围;
(3).过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x2,y2)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,求说明理由.

提问时间：2021-04-01

答案

1.焦点F为(0,1),p/2=1,p=2
故 抛物线方程是 x^2=4y
2,过P(x1,y1)的切线方程是：x1x=2(y+y1)
抛物线的准线方程是 y=-1
联立得：t=-1,
s=2(y1-1)/x1=2(x1/4-1/x1)在[1,4]上增
故当 x1∈[1,4],时,s∈[-3/2,3/2]
3.过P(x1,y1)的切线方程x1x=2(y+y1)过(s,-1)
则：sx1=2(y1-1))
过Q(x2,y2)的切线方程x2x=2(y+y2)过(s,-1)
则：sx2=2(y2-1)
则 P(x1,y1)和P(x2,y2)都满足方程sx=2(y-1)
故PQ的方程是 sx=2(y-1),恒过点（0,1)