题目

欧几里德空间中关于内积函数的度量矩阵是怎么理解的
关于一个欧几里德空间V的一个基,我们把内积函数在基向量上的值写成的一个矩阵称为关于该基的度量矩阵.

提问时间：2021-04-01

答案

首先你得理解基的作用.
一般的向量是比较抽象和绝对的概念,引入了基之后向量就可以用相对于这组基的坐标来表示,这样就把抽象的向量转化到具体的坐标（也就是一组数）.
在有了基之后抽象的线性变换也就可以用具体的矩阵来描述了.
这里的道理是一样的,用Gram矩阵可以把抽象的内积转化到一组具体的数.
比如说e_1,e_2,...,e_n是V的一组基,若向量a和b在这组基下的向量分别是x和y,记E=(e_1,e_2,...,e_n),那么形式上就有a=Ex,b=Ey,而它们的内积恰好就是
=(Ey)^H*(Ex)=y^H*G*x
这里G=E^H*E就是Gram矩阵,跳过中间的形式推导,内积运算就转化到了矩阵乘法.
当然,形式推导也可以严格化,一种方式是直接按分量来写,另一种方式是对向量直接定义诸如转置共轭和乘法运算.