题目

已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[0，e²-1]上恰有两个零点，求m的取值范围．

提问时间：2021-04-01

答案

（I） 依题意，函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当m=1时，f（x）=ln（1+x）-x，∴f′(x)=

1

1+x

-1…（2分）
由f'（x）＜0得

1

1+x

-1＜0，即

-x

1+x

＜0，解得x＞0或x＜-1，
又∵x＞-1，∴x＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．                  …（4分）
（II）求导数可得f′(x)=

1

1+x

-m，（x＞-1）
（1）m≤0时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值．…（6分）
（2）m＞0时，由于

1

m

-1＞-1，所以f（x）在(-1， 

1

m

-1]上单调递增，在[

1

m

-1， +∞)上单调递减，
从而f(x)极大值=f(

1

m

-1)=m-lnm-1．      …（9分）
（III）由（II）问显然可知，
当m≤0时，f（x）在区间[0，e²-1]上为增函数，∴在区间[0，e²-1]不可能恰有两个零点．      …（10分）
当m＞0时，由（II）问知f（x）_极大值=f(

1

m

-1)，
又f（0）=0，∴0为f（x）的一个零点．         …（11分）
∴若f（x）在[0，e²-1]恰有两个零点，只需

f(e2-1)≤0 0＜ 1 m -1＜e2-1

即

2-m(e2-1)≤0 1 e2 ＜m＜1

，
∴

2

e2-1

≤m＜1…（13分）

（I）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用f'（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间；
（II）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极值；
（III）由（II）问可知，当m≤0时，在区间[0，e²-1]不可能恰有两个零点；当m＞0时，利用0为f（x）的一个零点，结合f（x）在[0，e²-1]恰有两个零点，建立不等式，即可求m的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．