题目

已知,在矩形abcd中,AB=a bc=b 动点M从A出发沿边AD向点D运动
1.当b>2a时,点 在运动过程中,是否存在角BMC为九十度；存在,请证明；不存在,说明理由
2.当b<2a时.（题目同上）

提问时间：2021-04-01

答案

（1）证明：∵b=2a,点M是AD的中点,
∴AB=AM=MD=DC=a,
又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∴∠AMB=∠DMC=45°,
∴∠BMC=90°．
存在,
理由：若∠BMC=90°,
则∠AMB+∠DMC=90°,
又∵∠AMB+∠ABM=90°,
∴∠ABM=∠DMC,
又∵∠A=∠D=90°,
∴△ABM∽△DMC,
∴AM∕CD=AB∕DM,
设AM=x,则x∕a=a∕b-x,
整理得：x2-bx+a2=0,
∵b＞2a,a＞0,b＞0,
∴△=b2-4a2＞0,
∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意,
∴当b＞2a时,存在∠BMC=90°,
不成立．
理由：若∠BMC=90°,
由（2）可知x2-bx+a2=0,
∵b＜2a,a＞0,b＞0,
∴△=b2-4a2＜0,
∴方程没有实数根,
∴当b＜2a时,不存在∠BMC=90°,即（2）中的结论不成立．