题目

已知二次函数f（x）=ax²+bx且f（2）=0，方程f（x）-1=0有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（3）当x∈[-

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提问时间：2021-04-01

答案

（1）∵函数f（x）=ax²+bx，
∴f（2）=4a+2b=0，①
∵方程f（x）-1=0，得
ax²+bx-1=0有两个相等的实数根．
∴△=b²+4a=0 ②，
联立①②，解得
∴a=-1或a=0（舍），
∴b=2，
∴f（x）=-x²+2x，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=-x²+2x．
（2）任设x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-x₁ ²+2x₁+x₂²-2x₂，
=（x₂-x₁）[2-（x₁+x₂）]，
∵1≤x₁≤x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞2，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（3）如图示：
当x=1时，函数有最大值1，
当x=-

1

2

时，函数有最小值-

5

4

．